夫循环者。日月之週行。草木之荣枯。人事之兴替。其是也。毗鶱国王曰。天地无始无终。十二万年一盘古。今虽万万古。史唯一辙。莫非前定耳。吾不知其妄。然“年年岁岁花相似”者。人共见焉。又转辘轳以上百尺之绳。积跬步以作千里之行。累片石以固万里之城。非循环反覆无以致之也。其营营不息者。人之所疲。机器所乐为也。
循环之法有三。其一者曰无穷。盖行不止也。其二者曰若干。盖行若干遍也。其三者曰历列。盖视列中物之几何一一行之也。各书如是。
恆為是。
吾有一言。曰「「天地長不沒。山川無改時。」」書之。
云云。
為是百遍。
吾有一言。曰「「讀書百遍。其義自見。」」書之。
云云。
凡「列」中之「元」
吾有二言。曰「元」。曰「「者。亦列中之物也。」」書之。
云云。
注曰。列之用。更见于后章。今表历列之用。聊以示循环之全貌。不求观者立解也。
或问曰。云云者。吾似于前章见之。无乃决策亦用此结句耶。曰。然也。也字亦无以异也。
九九歌诀者。淮南子中已有之。至今流传不废。今以程式书此歌如左。
有數九。名之曰「始」。
有數「始」。名之曰「戊」
為是「始」遍。
有數「戊」。名之曰「戌」。
為是「戊」遍。
乘「戊」以「戌」。名之曰「甲」。
若「甲」小於十者。
吾有四言。曰「戌」曰「戊」曰「「如」」曰「甲」。書之。
若非
吾有三言。曰「戌」曰「戊」曰「甲」。書之也。
減「戌」以一。昔之「戌」者。今其是矣。
云云。
減「戊」以一。昔之「戊」者。今其是矣。
云云。
乃得九 九 八十一 八 九 七十二至一一如一诸辞。故曰。机器之代人力之尤甚。书少乃得多。事半而功倍者。循环也。非唯九九歌诀。虽千千歌决。亦在弹指间耳。试易首句如是。
有數九百九十九。名之曰「始」。
乃得九百九十九 九百九十九 九十九萬八千零一至一一如一。计四十九万馀行也。使人手书之。则非累日不能尽矣。
或问曰。世事茫茫难自料。今不能预卜其遍数之多少。乃于循环之中。有非常之境。遽然欲止者。当若何耶。曰。当用乃止。又问曰。今不欲尽止。唯欲直入次遍者。当若何耶。曰。当用乃止是遍也。
例曰。九章算术有更相减损术。所以求最大等数也。等数者。犹因数也。术曰。可半者半之。不可半者。副置分母。子之数。以少减多。更相减损。求其等也。以等数约之。今取不可半者之例。编程如是。
吾有二數。曰九十一。曰四十九。名之曰「甲」曰「乙」。
恆為是。
若「甲」等於「乙」者。
乃止。
或若「甲」大於「乙」者。
減「甲」以「乙」。昔之「甲」者。今其是矣。
若非。
減「乙」以「甲」。昔之「乙」者。今其是矣。
也。
云云。
夫「甲」書之。
夫更相减损之时。茫茫然不知其何时为等焉。故聊曰恆為是也。既等。乃毋须更为也。是乃止之用也。
例曰。阴数者。六八也。阳数者。七九也。今欲求百以内阴数之合。作何书。曰。
吾有二數。名之曰「甲」曰「乙」。
為是百遍。
加「甲」以一。昔之「甲」者。今其是矣。
除「甲」以二。所餘幾何。若其等於一者。
乃止是遍也。
加「甲」於「乙」。昔之「乙」者。今其是矣。
云云。
夫「乙」。書之。
或问曰。不若易等於一为等於零。并移加「甲」之句于决策中。无用乃止是遍矣。于吾子之法何异欤。曰然。于机器者是无异也。唯文风之别矣。或曰“无暇掩聪”。或曰“不及掩耳”。皆因作者之喜恶也。愚以为。凡循环之体冗长者。预以乃止是遍排其特例。可免于决策重层累然之苦。人或有不以为然者。曰。去止之方既多。蛰伏深隐。乃至难以理喻。是取乱之道也。是亦理也。编程之两难者多如是。君子可自取所好焉。
循环之术。至是略备矣。总其五章所知。亦颇有可为者。吾闻之。夫欲长于编程者。唯学而立用。用而不止。其胜束其手而观其书百倍。善哉此言。学而不思则罔。吾闻诸仲尼。请试之。以为熟习也。